Rechenregeln für Potenzen

1. Grundbegriffe

Basis und Exponent

Eine Potenz besteht aus zwei Hauptbestandteilen:

• Basis (a): Die Zahl, die multipliziert wird.
• Exponent ⁿ: Die Anzahl der Multiplikationen.

Die Potenz wird als $a^n$an geschrieben und bedeutet, dass die Basis $a$a insgesamt $n$n Mal mit sich selbst multipliziert wird.

Beispiel:

• $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

2. Spezielle Fälle

• Potenz mit Exponent 0: Jede Zahl (außer 0) hoch 0 ist 1: $a^0 = 1$
• Potenz mit Exponent 1: Jede Zahl hoch 1 ist die Zahl selbst: $a^1 = a$
• Potenz mit negativer Basis: Wenn der Exponent gerade ist, ist das Ergebnis positiv; wenn der Exponent ungerade ist, ist das Ergebnis negativ: $(-2)^3 = -8$(−2)3=−8 und $(-2)^4 = 16$(−2)4=16

3. Rechenregeln

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

$a^m \times a^n = a^{m+n}$  Beispiel: $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Division von Potenzen mit gleicher Basis

$a^m \div a^n = a^{m-n}$ Beispiel: $5^6÷5^2=5^{6-2}=5^4=\mathrm{625\; <br>}$

Potenz einer Potenz

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$  Beispiel: $(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729$

Potenz eines Produkts

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$  Beispiel: $(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296$

Potenz eines Quotienten

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ Beispiel: ${\left(\frac{4}{2}\right)}^3=\frac{4^3}{2^3}=\frac{64}{8}$​=8

4. Negative Exponenten

Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten: $a^{-n}=\frac{1}{a^{\mathrm{n }}}$ Beispiel: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

5. Brüche als Exponenten

Ein Bruch als Exponent steht für eine Wurzel: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$