Zahlensysteme, Wertebereiche und Bit-breite

Beispiele

1. 1-Bit-Speicherplatz:

   • Darstellbare Werte: 0, 1
   • Anzahl der Werte: $2^1=2$
   • Größte Zahl: $2^1 - 1 = 1$

2. 2-Bit-Speicherplatz:

   • Darstellbare Werte: 00, 01, 10, 11
   • Anzahl der Werte: $2^2 = 4$
   • Größte Zahl: $2^2-1=3$

3. 4-Bit-Speicherplatz:

   • Darstellbare Werte: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111
   • Anzahl der Werte: $2^4 = 16$
   • Größte Zahl: $2^4-1=15$

4. 8-Bit-Speicherplatz (1 Byte):

   • Darstellbare Werte: 00000000 bis 11111111
   • Anzahl der Werte: $2^8 = 256$
   • Größte Zahl: $2^8 - 1 = 255$

5. 32-Bit-Speicherplatz:

   • Anzahl der Werte: $2^{32} \approx 4.29 \text{ Milliarden}$
   • Größte Zahl: $2^{32} - 1 = 4.294.967.295$232−1=4.294.967.295

Verallgemeinerung

Für einen Speicherplatz mit $n$ Bits können die darstellbaren Zahlen von 0 bis $2^n - 1$reichen.

Formel

Die Formel zur Berechnung der größten darstellbaren Zahl im Binärsystem mit $n$n Bits lautet:

$\text{Größte darstellbare Zahl} = 2^n - 1$

Anwendung in der Informatik

• 8-Bit-Systeme (1 Byte): Häufig verwendet für einfache Daten wie ASCII-Zeichen.
• 16-Bit-Systeme: Verwendet in älteren Computern und Mikrocontrollern.
• 32-Bit-Systeme: Standard in vielen modernen Computern und Betriebssystemen.
• 64-Bit-Systeme: Verwendet in modernen Hochleistungscomputern und Servern für erweiterte Speicheradressierung und Rechenleistung.