Eine konkrete Anwendung

1. Schritt Erstellen der Wahrheitstabelle für die Bedingungen

A Jahreszahl ist durch     4 teilbar
B Jahreszahl ist durch 100 teilbar
C Jahreszahl ist durch 400 teilbar

Für diese Kombination aus drei Bedingungen sind 8 Unterscheidungen möglich.
Zwar machen nicht alle Sinn, aber Wahrheitstafeln sollten immer vollständig sein.

Wahrheitstafel

A	B	C		Schaltjahr
0	0	0		nein
0	0	1		nein
0	1	0		nein
0	1	1		nein
1	0	0		ja
1	0	1		ja
1	1	0		nein
1	1	1		ja

2. Schritt  Bestimmen der kürzeren Ausdrücke. Welches Ergebnis kommt weniger häufig vor?

Es sind nur 3 Fälle, die zu einem Schaltjahr führen.

3.Schritt  Erstellen einer Gesamtformel
Wir haben drei verschiedene Kombinationen, die jeweils ein Schaltjahr ergeben.
Da ja nur eine Kombination schon ausreicht, können wir sagem, dass es ein Schaltjahr ist, wenn Kombination-1 OR Kombination-2 OR Kombination-3 wahr ist.

Jede Kombination ist wahr, wenn jeweils alle drei Teilbedingungen zutreffen.

Das bedeutet, dass folgende Formel alle Bedingungen zusmmenfasst, die ein Schaltjahr ergeben:

(A AND NOT B AND NOT C) OR (A AND NOT B AND C ) OR ( A AND B AND C )

4. Vereinfachen der Formel

Um den Ausdruck $(A \land \neg B \land \neg C) \lor (A \land \neg B \land C) \lor (A \land B \land C)$ zu verkürzen, können wir die Rechengesetze der Booleschen Algebra anwenden.

1. Faktorisiere $A$ aus allen Termen:

   $$(A \land \neg B \land \neg C) \lor (A \land \neg B \land C) \lor (A \land B \land C) = A \land (\neg B \land \neg C \lor \neg B \land C \lor B \land C)$$
   

2. Nutze das Distributivgesetz:

   $$A \land ((\neg B \land \neg C) \lor (\neg B \land C) \lor (B \land C))$$
   

3. Fasse die Terme zusammen:

   • Betrachte $\neg B \land \neg C \lor \neg B \land C$: $$\neg B \land (\neg C \lor C)$$Da $\neg C \lor C = 1$, ergibt sich: $$\neg B \land 1 = \neg B$$¬B∧1=¬B

   Jetzt bleibt:

   $$A \land (\neg B \lor (B \land C))$$
   

4. Nutze das Distributivgesetz erneut:

   $$\neg B \lor (B \land C)$$
   
   • Hier können wir die Terme weiter vereinfachen:
     • $\neg B \lor B = 1$¬B∨B=1
     • $1 \lor C = 1$, wenn $B$ wahr ist, andernfalls bleibt $C$.

5. Finaler Ausdruck:

   $$A \land (\neg B \lor (B \land C)) = A \land (\neg B \lor C)$$
   

Endgültige Vereinfachung:

$$(A \land \neg B \land \neg C) \lor (A \land \neg B \land C) \lor (A \land B \land C) = A \land (\neg B \lor C)$$

Der vereinfachte Ausdruck lautet also:

$$A \land (\neg B \lor C)$$